JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是你你这些 网络型态的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。事先图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了事先图的型态:

  在介绍咋样用JavaScript实现图事先,当我们都我们都 先介绍某些和图相关的术语。

  如上图所示,由第两根边连接在一并的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。事先顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它事先顶点相连,就是A的度为3,E和其它事先顶点相连,就是E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图含有有路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不含有有重复的顶点,将会将的最后事先顶点加进,它也是事先简单路径。同类路径ADCA是事先环,它都是 事先简单路径,将会将路径中的最后事先顶点A加进,这麼 它以后事先简单路径。将会图中不居于环,则称该图是无环的。将会图中任何事先顶点间都居于路径,则该图是连通的,如上图以后事先连通图。将会图的边这麼 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,将会事先顶点间在双向上都居于路径,则称这事先顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。将会有向图中的任何事先顶点间在双向上都居于路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还能够是加权的。前面当我们都我们都 看一遍的图都是 未加权的,下图为事先加权的图:

  能够想象一下,前面当我们都我们都 介绍的树和链表也属于图的你你这些 特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,同类当我们都我们都 能够搜索图中的事先特定顶点或第两根特定的边,将会寻找事先顶点间的路径以及最短路径,检测图中与非 居于环等等。

  居于多种不同的辦法 来实现图的数据型态,下面介绍几种常用的辦法 。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,当我们都我们都 用事先二维数组来表示图中顶点之间的连接,将会事先顶点之间居于连接,则这事先顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,以后 为0。下图是用邻接矩阵辦法 表示的图:

  将会是加权的图,当我们都我们都 能够将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵辦法 居于事先缺点,将会图是非强连通的,则二维数组中会有就是的0,这表示当我们都我们都 使用了就是的存储空间来表示根本不居于的边。事先缺点以后当图的顶点居于改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外你你这些 实现辦法 是邻接表,它是对邻接矩阵的你你这些 改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,当我们都我们都 能够用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  当我们都我们都 还能够用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的清况 下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵辦法 表示的图:

  下面当我们都我们都 重点看下咋样用邻接表的辦法 表示图。当我们都我们都 的Graph类的骨架如下,它用邻接表辦法 来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中加进事先新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中加进a和b事先顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,当我们都我们都 用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据型态——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每事先顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面当我们都我们都 给出的邻接表的示意图。以后 在Graph类中,当我们都我们都 提供事先辦法 ,辦法 addVertex()用来向图中加进事先新顶点,辦法 addEdge()用来向图中加进给定的顶点a和顶点b之间的边。让当我们都我们都 来看下这事先辦法 的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要加进事先新顶点,首不能自己判断该顶点在图中与非 将会居于了,将会将会居于则能够加进。将会不居于,就在vertices数组中加进事先新元素,以后 在字典adjList中加进事先以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 将会图中这麼

顶点a,先加进顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 将会图中这麼

顶点b,先加进顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中加进指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中加进指向顶点a的边
}

  addEdge()辦法 也很简单,首不能自己确保给定的事先顶点a和b在图中需要居于,将会不居于,则调用addVertex()辦法 进行加进,以后 分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中加进事先新元素。

  下面是Graph类的全版代码,其中的toString()辦法 是为了当我们都我们都 测试用的,它的居于都是 需要的。

  对于本文一事先刚开始了了给出的图,当我们都我们都 加进下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  能够看一遍,与示意图是相符合的。

  和树同类,当我们都我们都 就是能对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历辦法 分为你你这些 :广度优先(Breadth-First Search,BFS)和淬硬层 优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历能够用来寻找特定的顶点或事先顶点之间的最短路径,以及检查图与非 连通、图中与非 含有环等。

  在接下来要实现的算法中,当我们都我们都 按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问以后 被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第事先顶点事先刚开始了了遍历图,先访问你你这些 顶点的所有相邻顶点,以后 再访问什么相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  将会当我们都我们都 采用邻接表的辦法 来存储图的数据,对于图的每个顶点,都是 事先字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于你你这些 数据型态,当我们都我们都 能够考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,以后 依次正确处理队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将事先刚开始了了顶点存入队列。
  2. 遍历事先刚开始了了顶点的所有邻接顶点,将会什么邻接顶点这麼 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),以后 加入队列。
  3. 将事先刚开始了了顶点标记为被正确处理(颜色为黑色)。
  4. 循环正确处理队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()辦法 接收事先graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要咋样正确处理被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),什么颜色保居于以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性能够通过getVertices()和getAdjList()辦法 得到,以后 构造事先队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据型态——队列的实现与应用》),按照里面描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面当我们都我们都 给出的测试用例的基础上,加进下面的代码,来看看breadthFirstSearch()辦法 的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也以后当我们都我们都 用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,当我们都我们都 将顶点I放上最里面。从顶点I事先刚开始了了,首先遍历到的是它的相邻顶点E,以后 是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D将会被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G将会被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,当我们都我们都 能够使用它做更多的事情,同类在事先图G中,从顶点v事先刚开始了了到其它所有顶点间的最短距离。当我们都我们都 考虑一下咋样用BFS来实现寻找最短路径。

  假设事先相邻顶点间的距离为1,从顶点v事先刚开始了了,在其路径上每经过事先顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()辦法 的改进,用来返回从起始顶点事先刚开始了了到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()辦法 中,当我们都我们都 定义了事先对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及什么顶点的前置顶点。BFS()辦法 需要callback回调函数,将会它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()辦法 的逻辑同类,只不过在事先刚开始了了的事先将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,以后 在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。当我们都我们都 仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A事先刚开始了了到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()辦法 的返回结果为基础,通过下面的代码,当我们都我们都 能够得出从顶点A事先刚开始了了到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类能够参考《JavaScript数据型态——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上当我们都我们都 说的都是 未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并都是 最要花费的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

淬硬层 优先

  淬硬层 优先算法从图的第事先顶点事先刚开始了了,沿着你你这些 顶点的第两根路径递归查找到最后事先顶点,以后 返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,淬硬层 优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是淬硬层 优先遍历的示意图:

  当我们都我们都 仍然采用和广度优先算法一样的思路,一事先刚开始了了将所有的顶点初始化为白色,以后 沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,将会顶点被探索过(正确处理过),则将颜色改为黑色。下面是淬硬层 优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第事先顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数实物,将会顶点A被访问过了,就是将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(将会居于),以后 遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,就是将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,就是将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,就是将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I这麼 邻接节点,以后 将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E这麼 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的事先邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,就是将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F这麼 邻接节点,以后 将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第一个多邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,就是将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,就是将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,就是将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G这麼 邻接节点,以后 将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的事先邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,就是将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H这麼 邻接节点,以后 将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的事先邻接节点G,将会G将会被访问过,对C的邻接节点的遍历事先开始了了。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后事先邻接节点D,将会D将会被访问过,对A的邻接节点的遍历事先开始了了。将A设置为黑色。
  17. 以后 对剩余的节点进行遍历。将会剩余的节点都被设置为黑色了,就是系统进程池池事先开始了了。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,当我们都我们都 将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,淬硬层 优先算法的数据型态是栈,然而这里当我们都我们都 并这麼 使用栈来存储任何数据,以后使用了函数的递归调用,随便说说 递归也是栈的你你这些 表现形式。另外某些,将会图是连通的(即图中任何事先顶点之间都居于路径),当我们都我们都 能够对上述代码中的depthFirstSearch()辦法 进行改进,只需要对图的起始顶点事先刚开始了了遍历一次就能够了,而需要遍历图的所有顶点,将会从起始顶点事先刚开始了了的递归就能够覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了淬硬层 优先算法的工作原理,当我们都我们都 能够使用它做更多的事情,同类拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort将会toposort)。与广度优先算法同类,当我们都我们都 也对里面的depthFirstSeach()辦法 进行改进,以说明咋样使用淬硬层 优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()辦法 会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,当我们都我们都 假定时间从0事先刚开始了了,每经过一步时间值加1。在DFS()辦法 中,当我们都我们都 用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(你你这些 和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这事先值。这里需要注意的是,变量time不言而喻被定义为对象而都是 事先普通的数字,是将会当我们都我们都 需要在函数间传递你你这些 变量,将会以后作为值传递,函数实物对变量的修改不想影响到它的原始值,以后 当我们都我们都 以后需要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,就是采用值传递的辦法 显然不行。以后 当我们都我们都 将time定义为事先对象,对象被作为引用传递给函数,事先在函数实物对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()辦法 的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  当我们都我们都 将结果反映到示意图上,事先更加直观:

  示意图上每事先顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,全版完成时间是18,能够结合前面的淬硬层 优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一并当我们都我们都 也看一遍,淬硬层 优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序能够应用于有向无环图(DAG)。基于里面DFS()辦法 的返回结果,当我们都我们都 能够对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到当我们都我们都 需要的拓扑排序结果。

  将会要实现有向图,只需要对前面当我们都我们都 实现的Graph类的addEdge()辦法 略加修改,将最后一行删掉。当然,当我们都我们都 就是能在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  以后 当我们都我们都 对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章当我们都我们都 将介绍咋样用JavaScript来实现各种常见的排序算法。